中學數學測驗(比例)

[Tony234]

記憶中, 中學數學測驗時, 剛巧遇上有條很簡單而且普通的比例題, 我的數學基礎在那時都不錯, 但突然好像腦袋塞了, 想了很久也不懂做, 這條是大約這樣的,

有兩種不同價錢的米, A米$13/kg, B米$23/kg, 老闆想把A及B溝在一起, 然後賣$17/kg, 請問要用什麼比例溝出來?

當時到測驗最後的兩分鐘也做不出來, 如果有興趣, 你們可以試下做, 最好要有算式, 如果有人回應, 我遲些把我當時想出的方法給大家看看, 由意念開始, 兩分鐘內可以寫好算式及做埋驗證。

[akltsang]

Assume the ratio of A:B is 1 : x.
Then (1*13+x*23)/(1+x)=17.
Solve for x (=2/3).
So ratio of A:B = 1: 2/3 or 3:2

[Tony234]

Assume the ratio of A:B is 1 : x.
Then (1*13+x*23)/(1+x)=17.
Solve for x (=2/3).
So ratio of A:B = 1: 2/3 or 3:2

akltsang,

簡單直接, 而且快而準 !!
可惜我當時想不到這正統的方法!

但我誤撞出來的方法,
它的算式比以上的更簡單!

我想一般人要解 (1*13+x*23)/(1+x)=17
都要用一兩個計算步驟, 就算考卷不寫出來,
都要用草稿紙做一點簡單運算吧。

但我的算式, 在第一步寫出後, 只要做心算加減, 幾乎無需要乘除, 已經可以輕易看出答案了。

我的靈感是來自當時物理學所教的一個方程式。

如果你是我, 忘記了正統的方法, 那你會用什麼更簡單方法去解這問題?

[akltsang]

Moment equation:

Assume x-axis is a rod. Putting a kg of rice A at 13, b kg of rice B at 23. The moment should be equivalent to putting (a+b)kg of mixed rice at 17.
Take moment about 0, gives

13*a + 23*b = 17*(a+b)
So 4a=6b
So a/b=3/2
So A:B = 3:2

Right?

[Wah!!]

我剛才的列式是:
y是$13/kg的米所含的比例
13y + 23(1-y) = 17

[Tony234]

我剛才的列式是:
y是$13/kg的米所含的比例
13y + 23(1-y) = 17

Wah,
我看不到你"剛才的列式" , 可否再post上來 ?

[Wah!!]

"剛才" 是指我自己在家中列的式 :p

[Tony234]

Moment equation:

Assume x-axis is a rod. Putting a kg of rice A at 13, b kg of rice B at 23. The moment should be equivalent to putting (a+b)kg of mixed rice at 17.
Take moment about 0, gives

13*a + 23*b = 17*(a+b)
So 4a=6b
So a/b=3/2
So A:B = 3:2

Right?

akltsang,

從你的算式可以知道你是數理的高手,
坦白講, 因已是十多年前的事了,
我已不記得我中學時有沒有學過Moment equation ,
而且就算學過也未有能力, 把它與這題目聯繫上
你的示範的確是很精彩, 把這兩條不太相關的題目聯繫上。

我的方法, 用的物理學程式,
與題目的情況(mix溝)更加類似貼切,
但我們同樣用了"equilibrium"(平衡or守衡) 的概念。

有一點我比較自豪(請見諒!) ,
就是我選用的程式, 仍然比你用的更簡單, 而且更平衡和優雅

yours: xxxxx=xxxx

mine : xxxx=xxxx

我想很快你會找到答案了。

[akltsang]

My even simpler solution still using moment equation:

Assume x-axis is a rod. Putting a kg of rice A at 13, b kg of rice B at 23. The moment should be equivalent to putting (a+b)kg of mixed rice at 17.
Take moment about 17, gives

(17-13)*a - (23-17)*b = 0
so 4a=6b
so a/b=3/2
so A:B = 3:2

[akltsang]

Another way:

Heat equilibrium.

Assuming a kg of rice A at temperture 13 deg. and b kg of rice B at temperature 23 deg. are mixed, resulting in mixed rice of temperature 17.

Heat gain of rice A=(17-13)*a
Heat loss of rice B=(23-17)*b

Heat loss = heat gain
so (17-13)*a=(23-17)*b
so 4a=6b
so a:b=3:2

[WenXP]

很厲害!!
這是真正的融會貫通啊!!!

[Tony234]

Another way:

Heat equilibrium.

Assuming a kg of rice A at temperture 13 deg. and b kg of rice B at temperature 23 deg. are mixed, resulting in mixed rice of temperature 17.

Heat gain of rice A=(17-13)*a
Heat loss of rice B=(23-17)*b

Heat loss = heat gain
so (17-13)*a=(23-17)*b
so 4a=6b
so a:b=3:2

Yes !! 正是我的答案　!!

話說在測驗的最後兩分鐘, 突然想到剛剛物理學的熱能公式, 計算兩種不同溫度的水溝埋的程式, 清況很像溝米一樣, 而且最重要就是公式非常易記,
m1 delta T1 = m2 delta T2, 並且剛剛物理堂做過練習。

已經沒有時間了, 只餘下一分鐘，馬上寫下算式 只有三行 :

a*(17-13)=b*(23-17)
4a=6b
a:b=3:2

還有30秒, 做埋驗證, 3*13= $39, 2*23=$46, 39+46=85, 85/5 =17, Bingo!!
Times Up ! Pens Down !

改卷之後, 阿sir 同我講, 當他見到我的答案, 第一個感覺是算式是錯的, 結果只是剛巧與答案一樣, 正想打交叉時, 再想多一想, 發現我的算式是正確的, 而且非常精簡, 他也問我是如何想到的。

完

[WenXP]

佩服!

而且你講得好生動~

[bamboo]

提供另一種思路，不用列方程，應該是一個高小學生也可以用心算進行的：

把「B米」當成「B組合」，每一單位「B組合」是一斤A米添加上$23-$13=$10的油。老闆的目的可以視為弄出一個「C組合」，每一單位「C組合」是一斤A米加上$17-$13=$4的油。那麼取4單位「B組合」，便有4x$10=$40的油，只需將之分到$40/$4=10個「C組合」即可。除了已有的4單位「B組合」，還要再取10-4=6斤A米。因此A跟B的混合比例是6：4，也即是3：2。