問題﹕相對於地球 自由落下物體有沒有最高速度極限？

[Tony234]

很想找出以上標題的答案 , 有沒有網友可以幫手解答？

假設﹔

1. 有一靜止物體受地球引力垂直向地心加速
2. 物體質量遠小於地球質量，但沒有指定質量
3. 物體距離沒有特別指定, 但受到宇宙年齡,大小及澎漲等因數限制

可能有用的考慮因數﹕

4. GM/(r^2)
5. 位能=mgh, 但g是否因距離改變而不斷改變
6. 距離越遠, 引力越小, 但加速時間越久
7. 相反，距離越近, 引力越大, 但加速時間越短


問題﹕
8. 相對於地球,那自由落下物體,有沒有最高速度極限？
9. 如有, 最高速度極限是多小？
10. 如有, 在什麼質量和距離條件之下發生？
11. 如沒有, 為什麼？

請指教

[扒飯撈麵]

8.有,空氣阻力
由於阻力和物體速率相關
速率越高阻力越大,當阻力和重力一樣便不能再快
9.10.11.視乎物體形狀,密度,運行方向等

[august]

8 )假切在真空狀態，及無其他引力影響之下…速度是不段上升。但不能達到光速。=愛因詩坦話

9) 參巧"狹義相對論"

10) 根據"廣義相對論"。"廣義相對論是一嶄新的重力理論。當考慮微弱的重力場時，它可被簡化為牛頓理論。它的的一些奇異結果包括在強大的重力場下，時空被扭曲，因此光線亦會被扭曲…。"轉載自http://www.phy.cuhk.edu.hk/astroworld/dictiona ... ysics.html

11) 如果實驗在地球進行，基本上是毋須考慮"相對論"。反而要考慮空氣的阻力…實驗的誤差…等。

[Tony234]

首先多謝 扒飯撈麵 及 august 的覆 !

可能我有些重點沒清楚列出, 現再補充多一點,

假設﹔

1. 有一靜止物體受地球引力垂直向地心加速
1a. 直線運動, 不考慮軌跡和空氣阻力
2. 物體質量遠小於地球質量，但沒有指定質量
2a.一般金屬球形, １kg 至小行星的質量
3. 物體距離沒有特別指定, 但受到宇宙年齡,大小及澎漲等因數限制
3a. 距離可以離地表 幾百公里 至 百幾光年

可能有用的考慮因數﹕

4. GM/(r^2)
5. 位能=mgh, 但g是否因距離改變而不斷改變
6. 距離越遠, 引力越小, 但加時速間越久
7. 相反，距離越近, 引力越大, 但加速時間越短

問題﹕
8. 相對於地球,那自由落下物體,有沒有最高速度極限？
9. 如有, 最高速度極限是多小？
(注意:距離越遠, 引力越小, 太遠又未必有好處, 但可以用作加速的時間越久)
(有沒有足的的引力, 有沒足距離加速到接近光速 ?)
(距離是可能受到宇宙大小限制)
(由於引力會跟距離而改變, 可能要用微積分計算, 但我不熟)
10. 如有, 在什麼質量和距離條件之下發生？
11. 如沒有, 為什麼？(Deleted, 因速度不可超越光速)


問題的主要目的, 是想知道一般小星球(除了質量巨大的恆星或黑洞之外), 是否有能力把靜止物件加速至非常接近光速, 如不能, 極限是什麼?
又或者, 要把遙遠物體加速至非常接近光速, 星體最小要有多小質量?
請高手指教!

[Wah!!]

你的問題應該和黑洞有關係?
即使黑洞也不能把天體拉到光速.

[WenXP]

本題很簡單, 無需用上微積分, 只需考慮位能(GMm/r)和動能(0.5mv^2)之間的轉換就可以了!

[Tony234]

本題很簡單, 無需用上微積分, 只需考慮位能(GMm/r)和動能(0.5mv^2)之間的轉換就可以了!

Thanks to WenXP, I will try to work out the answers, and post here after studying.

[WenXP]

我剛試做了一下, 發現答案很有趣!
Tony234試試能否找出答案? ^^

[Tony234]

我剛試做了一下, 發現答案很有趣!
Tony234試試能否找出答案? ^^

Let me try....

重力位能Gravitational Potential Energy = P = - GMm/R
動能 Kinetic Energy =K = (1/2)mv^2

重力常數= G = 6.673 x 10^-11 m3/kgs
遙遠靜止物體質量 = m
遙遠靜止物體距離 = R1
地球質量M = 5.98x10^24 kg
地球半徑R2 = 6.37x10^6m

靜止物體在遙遠處的總能量 E1 = K1(動能) + P1(位能) = (1/2)mv^2 - GMm/R1
由於 v = 0 , 所以 E1 = - GMm/R1

受引力加速後物體在地球表面的總能量 E2 = K2 + P2 = (1/2)mv^2 - GMm/R2

由於能量守恆,
E1 = E2
-GMm/R1 = (1/2)mv^2 - GMm/R2
(m 被消除, 即不用考慮遙遠靜止物體的質量)
-GM/R1 = (1/2)v^2- GM/R2
(1/2)v^2 = GM/R2 – GM/R1
(1/2)v^2 = GM (1/R2 - 1/R1)
v^2 = 2GM(1/R2 - 1/R1)
靜止物體距地球無限遠 , R1 → ∞, 1/ R1 → 0
v^2 = 2GM(1/R2)
v^2 = 2 x 6.673 x 10^-11 x 5.98x10^24 x 1/(6.37x10^6)
物體受地球加速的最大的速度v = 11,193 m/s

總結:
1. 受星體引力加速的物體有最高速度極限
2. 計算時不用考慮遙遠靜止物體的質量, 只考慮星體質量(M)與半徑(R)
3. 參考過資料後http://www.ied.edu.hk/has/phys/work/index.htm ,
以上所計算的最高速度極限, 剛好即是 『逃逸速度』
4. 當 v=光速(c) , 就會出現黑洞 。
5. 關於位能與黑洞, 對我好像有點啟發, 但要時間思考, 才可進一步討論。

以上如有錯漏, 請指教。

[o0oSkywalkero0o]

What is 逃逸速度??

[touch119]

由於能量守恆,
E1 = E2
-GMm/R1 = (1/2)mv^2 - GMm/R2
由這個公式確實能推出最高速度極限.但是我覺得只能適用在太陽系比較近的範圍而已.
你說距離無限大時的速度不一定適用喔.
因為萬有引力GMN/R^2
裡面的G不一定是固定的常數.重力常數= G = 6.673 x 10^-11 m3/kgs
是太陽系的重力常數.

這是我在網路找到的文章
從先驅者號軌跡反常談「萬有引力」
眾所周知，「萬有引力」定律是由十七世紀英國科學家牛頓發現的。牛頓根據當時對太陽系內行星運行觀測的數據，結合自己和前人發現的的運動定律推導出了萬有引力定律。儘管「萬有引力」定律在解釋行星運行上取得了成功，但是它在太陽系以外並沒有得到實驗的驗證。先驅者號航行使人類第一次有機會精確地在「大尺度」上檢測「萬有引力」定律，而先驅者號的軌跡反常顯示「萬有引力」可能還有不為我們所知的奧秘。
在星系尺度上，現在的天體觀測已經發現了很多不能為「萬有引力」定律解釋的現象。比如星系的運動，萬有引力定律就無能為力。科學家們早就發現觀測到的星系旋轉速度比「萬有引力」定律算出的要快很多，要維繫星系的運行而使它們不分崩離析，必須假設星系中星體的引力常數（表徵引力強度的常數）比我們現在所知的的引力常數要強很多；或者是維持引力常數不變，假定存在著質量比我們能夠觀測到的普通星體質量大１０倍左右的所謂「暗物質」在維持著星系的穩定。雖然現在物理學家都是傾向於後一個假設，但是這種假設十分隨意（因為科學家們對「暗物質」一無所知），這種假設也只是許多可能性中的一種，真實情況如何仍然不得而知。

幾年來發現的著名的宇宙加速膨脹，更是萬有引力定律無法解釋的。按照現代宇宙論，宇宙起源於一次宇宙大爆炸，宇宙因大爆炸而膨脹。按照萬有引力定律，宇宙的膨脹速度應該因為宇宙中星系之間的萬有引力而逐漸減慢。但是自１９９８年以來，幾個互相獨立實驗觀測都證實了我們宇宙在加速膨脹。科學家為此不得不引入所謂的「暗能量」來「推動」這種膨脹。

科學家們在測量萬有引力常數的實驗中也發現了異常。例如在對「萬有引力常數」的測定中，目前兩組精確度最高的測量值雖然實驗精度達到萬分之一，但是奇怪的是，這兩個實驗數值彼此相差超過實驗精度的10倍以上。還有其他一些實驗組給出的數值相互之間也有很大的出入。對此，科學家們百思不得其解。現在有些科學家認為這一常數並不是真正意義上的常數，它在地球上不同的地點有著不同的數值。

在理論上，「萬有引力」也是讓理論物理學家最為頭疼的相互作用。它與其它重要的現有物理理論如量子場論等格格不入。因此很多研究弦論和膜論的物理學家認為「萬有引力」只是一種現象，真正的物理實質是什麼還有待於進一步的探索。在科學家們找到其物理實質之前，引力將持續困擾著我們。

先驅者號軌跡反常還有一個令人不解之處，就是我們太陽系中自然存在的行星都沒有發現這種反常加速度。難道「自然存在」的行星和人造的飛船的「萬有引力」存在著某些不為我們所知的差異嗎？或者「自然存在」的行星軌道有什麼特殊之處？這不禁使人想起了原子中的電子軌道。在原子中，電子的「定態軌道」的確是一些很特殊的「軌道」,也許微觀和宏觀世界存在著某種還不為我們所知的相通之處。
http://www.zhengwunet.org/zhengwunet/ar ... 18193.html

也就是說不同的空間.萬有引力常數並不是絕對的相同.
代表著.不同的空間當距離非常遠時.萬有引力常數不一樣.再不同的空間所受到的力也就不一樣了.
今天假設我們的地球存在的G值.如果是絕對的.而這個宇宙的G值也是跟地球或太陽系的G值幾乎都一樣.
那兩物體所受到的力都按照我們現在用的萬有引力公式GMN/R^2運行.
而G也都固定不變.
那能量守恆,
E1 = E2
-GMm/R1 = (1/2)mv^2 - GMm/R2
來推的話就沒錯.

但是根據文章G值隨空間不同而有不同.
那
E1 = E2
-GMm/R1 = (1/2)mv^2 - GMm/R2
推出來就不一定了.
假設量2物體距離10光年的距離好了.
每格1光年有不同的G值
分別是G1.G2.G3.G4.G5.G6.G7.G8.G9.G10
那兩物體會隨距離不一樣而有不同的常數.所受的力也不同.
分別是
F(10光年距離)=G1MN/(R10)^2
F(9光年距離)=G2MN/(R9)^2
.......F(1光年距離)=G2MN/(R1)^2
所受到的力跟G值固定不一樣.
G值固定的話因該是
F(10光年距離)=GMN/(R10)^2
F(9光年距離)=GMN/(R9)^2
.......F(1光年距離)=GMN/(R1)^2
可以知道G值的改變和G值不變所受到的力是不一樣的.
既然物體所受到的力隨距離的不同.萬有引力有誤差.
物體的動能有誤差.那動能轉換成速度時也就有誤差了.
所以
能量守恆,
E1 = E2
-GMm/R1 = (1/2)mv^2 - GMm/R2
只適用於太陽系比較近的地方.或兩物體間距離G值不變的情況下才適用.
所以兩物體距離無限大時.不考慮其他星球的影響下.
你想求的V.跟你算出來的V是有誤差的.當然V的誤差很小就是了.

最後以上是我的感覺.是不是如此我也不確定.
不過我想不同的空間有不同的G值.G值不同V也就有誤差應該是對的.
只是很小就是了.

[Tony234]

What is 逃逸速度??

This is the mininum speed to escape fm the Gravity of a subject (mostly apply to planet, star or black holes).

For example, if you can throw a stone toward sky with a speed not less than the escape speed (11 913m/s), it will not come back to earth, if you throw it below the escape speed, it must come back to earth.

[Tony234]

...距離無限大時...不一定適用喔.
因為...G不一定是固定的常數

Touch119, 你說得無錯, 我的推算是其於重力常數(G)在宇宙任何時間角落也一樣, 但如果G在遠距離有改變, 我亦作以下推理:-

假定能量依然守恆,
E1 = E2
-G1M/R1 = (1/2)v^2- G2M/R2
(1/2)v^2 = G2M/R2 – G1M/R1
v^2 = 2M(G2/R2 – G1/R1)

如果 R1= 130 億光年 = 9.46x10^15 m ,
假設G1 是地球 G2的 1000 倍,
即 G1 = 6.673 x 10^-8 m3/kgs
G1/ R1 = 7.05 10^-24 (同樣非常接近 零)
v^2 = 2M(G2/R2 –7.05 10^-24)
v = 11193.255987 m/s
結果與之前極接近, 小數後24個位也一樣。

其實我也做過倒算,

當物體大約是 太陽到地球的距離,
即 R1 = 150, 000,000,000 m, v = 11193.018 m /s 速度達到極速的 99.99788%

當物體大約是 太陽到冥王星距離,
即 R1 = 5,915, 000,000,000 m, 速度達到極速的 99.99995%

當物體距地球大約 259,020,683,712,000 m時 (10光日距離),速度達到極速的 99.9999988%


即使10光日距離已經可以非常接近極速, 所以, 如果不是做極精密的研究, 即使遠處的G有千倍改變, 也是可以完全不用考慮。


By the way , 剛剛post完這編回覆後, 我的等級已升為原恆星了 !

[touch119]

我覺得要把G.跟g要搞清楚比較好
M(地球質量).N(物體質量).G是重力常數.
在地球上.地球作用於物體的力F=GMN/R^2=(GM/R^2)*N=Ng
g=(GM/R^2)
一個物體在地球上當在地球表面時重力加速度是g
當物體在離地球越遠.地球對物體作用來說g就會越小.
因為F跟R^2成反比
你說的應該是小g才對.距離越遠物體受到地球的g越小.
因為g=(GM/R^2)....g跟(R^2)成反比
而我說的是大G.跟距離是沒有關西的.大G是根據宇宙空間的不同.視那個空間的狀態不一樣而異.
不同的空間大G的值就會不一樣.
在太陽系裡.大G的值幾乎都差不多.但是在太陽系以外.
如我貼的那個文章說的大G的值跟太陽系是不一樣的.
(科學家們在測量萬有引力常數的實驗中也發現了異常。例如在對「萬有引力常數」的測定中，目前兩組精確度最高的測量值雖然實驗精度達到萬分之一，但是奇怪的是，這兩個實驗數值彼此相差超過實驗精度的10倍以上。還有其他一些實驗組給出的數值相互之間也有很大的出入。對此，科學家們百思不得其解。現在有些科學家認為這一常數並不是真正意義上的常數，它在地球上不同的地點有著不同的數值。)

在地球.萬有引力常數.都會有不一樣.那在太陽系以外更不用說了.
(先驅者號軌跡反常還有一個令人不解之處，就是我們太陽系中自然存在的行星都沒有發現這種反常加速度。)
這句話就是最好的證明.代表太陽系內外的大G的值不一樣.先驅者號已經飛出太陽系.先驅者號軌跡反常.代表萬有引力常數也異常.

[Tony234]

touch119, according to your assumption, i have made my second model as above posted, but I never use any small "g" but only use big "G", and G1 is applied for long distance area, and G2 is applied for near solar system, which is totally based on your model.

E1 = K1(動能) + P1(位能) = (1/2)mv^2 - G1Mm/R1
E2 = K2 + P2 = (1/2)mv^2 - G2Mm/R2
E1=E2
The above equations are not created by me, but follow the scientific formular used by the world, if you can agree the above equations, it will be finally simplified to become
v^2 = 2M(G2/R2 – G1/R1)
that means no matter how G1 will be, if R1 is very big enough, G1/R1 will trend to zero.
Thus G1 is no need to be considered.

According to your point of veiw, G2 (for solar system) is not big difference with earth.

The calcuation result is that any subject will be accelerated very close to the maximum speed within solar system, further distance longer than solar system is not too much help in the acceleration.

If I still misunderstand your point, please post your own calulation or even your own formula here, you don't need to use exact figures for the calculation, just use your own assumption is already ok for our studying.