天體力學二體問題公式如何變換

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pang
星際雲
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天體力學二體問題公式如何變換

文章 pang » 週三 09 7月, 2014 20:05

天體力學中二體問題裹有三個變量: e偏心率, E偏近點角, f真近點角.

其中有公式連結他們, 如

SIN(f) = SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E)) ----- (1)

請同好們把 公式(1) 變換成 公式(2) 如下:

SIN(E) = SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f)) ----- (2)

謝謝!

彭祿勝謹啟
2014-07-09

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csuse123
原恆星
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Re: 天體力學二體問題公式如何變換

文章 csuse123 » 週四 10 7月, 2014 01:15

pang 寫:天體力學中二體問題裹有三個變量: e偏心率, E偏近點角, f真近點角.
其中有公式連結他們, 如
SIN(f) = SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E)) ----- (1)
請同好們把 公式(1) 變換成 公式(2) 如下:
SIN(E) = SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f)) ----- (2)
謝謝!

彭祿勝謹啟
2014-07-09
加上另一條輔助式就可以:
COS(E) = (e+COS(f)) / (1+e*COS(f))

pang
星際雲
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文章 pang » 週五 11 7月, 2014 16:35

多謝同好csuse123 提出的意見

以下是利用 COS(f)和COS(E) 的關係推演的算式

SIN(f) = SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E)) ----- (1)

=> 1 - (SIN(f))^2 = 1 - (SQRT(1-e*e))^2* (SIN(E))^2/ (1-e*COS(E))^2

1-e*COS(E))^2 - (1-e*e) *(1-(COS(E))^2)
=> (COS(f))^2 = ------------------------------------------
(1-e*COS(E))^2

(1-2*e*COS(E)+(e*COS(E))^2) - (1-e*e-(COS(E))^2+(e*COS(E))^2)
=> (COS(f))^2 = ------------------------------------------
(1-e*COS(E))^2

(COS(E))^2 - 2*e*COS(E) + e^2
=> (COS(f))^2 = ---------------------------------
(1-e*COS(E))^2

=> COS(f) = (COS(E)-e) / (1-e*COS(E)) ----- (a)

=> COS(E) = (COS(f)+e) / (1+e*COS(f)) ----- (b)

=> 1 - (COS(E))^2 = 1 - (COS(f)+e)^2/ (1+e*COS(f))^2

(1+2*e*COS(f)+(e*COS(f))^2) - ((COS(f))^2+2*e*COS(f)+e*e)
=> (SIN(E))^2 = ------------------------------------------
(1+e*COS(f))^2

1 - e*e + (e*COS(f))^2 - (COS(f))^2
=> (SIN(E))^2 = -------------------------------------
(1+e*COS(f))^2

(1-e*e) * (1-(COS(f))^2)
=> (SIN(E))^2 = --------------------------
(1+e*COS(f))^2

=> SIN(E) = SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f)) ----- (2)

推算終於完成了!

這裹, 需連結 4條公式 (1), (a), (b) 和 (2)
SIN(f) = SQRT(1-e*e) * SIN(E) / (1-e*COS(E)) ----- (1)
COS(f) = (COS(E)-e) / (1-e*COS(E)) ----- (a)
COS(E) = (COS(f)+e) / (1+e*COS(f)) ----- (b)
SIN(E) = SQRT(1-e*e) * SIN(f) / (1+e*COS(f)) ----- (2)

這是否很繁複呢? 而且事前要知道利用由SIN轉為COS的公式. 這怎能未卜先知呢?

其實由公式(1)轉為公式(2), 祗不過是利用中學裹所學的三角恆等式,
並沒有使用任何天文知識.

同好們, 請幫助去尋求一些簡單而直接的推算方法, 謝謝!

還有 公式(1)和(2) 是很對稱, 很美妙啊!
同樣 公式(a)和(b) 亦很對稱, 很美妙啊!

另外, 我發覺公式(1)和狹義相對論中羅倫子變換很相似,
稍後整理好便列出給同好們討論.

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