平場鏡的幾何光學

[鄧登凳]

這又是一個和天文觀察有關的物理學問題, 不算正宗的天文物理學。

為了可讓多些同好參與討論, 這裡只用較簡單的幾何光學。

為什麼要平場鏡呢? 那是因為相機或天文攝影機的感光面基本上是個平面。

望遠鏡的焦點, 以最簡單只有物鏡的系統來說, 位於無限遠的物體, 焦點是在離物鏡中心點距離等如焦距的面上, 和一點距離相等的一個面, 就是球面(spherical surface)。用感光平面試將這個球面的成像記錄下來, 就和中心點對好焦, 旁邊的就不對焦了。在天文攝影上, 這叫場曲(field curvature)問題。

那焦距差異多少呢? 以光源在無限遠(這點很重要, 不然那個球面的半徑不同了)來說, 主軸的感光平面位於焦距, 最偏遠的角位離這個中心點的距離, 全幅片(full frame, FF, 如5D-mark II)的是21.65mm, 以APS-C(如450D)是13.34mm, 那我們有直角三角形的兩條邊, 求斜邊長度是初中數學吧。算出了斜邊, 一算便知要長多少"焦距"了(下圖的ΔFL值)。

怎樣可以使到達斜邊的光束"增加"距離呢? 最簡單的是光經過玻璃一段距離, 大概等同經過空氣的1.52倍距離(實深/視深[real depth/apparent depth]問題, 還是中學物理學吧), 那只要加一片玻璃, 射向中心光束所經的玻璃少, 向外角的光束經過的玻璃多, 便可以達到目的了。換另一角度, 放了這塊玻璃在感光面, 感光面的視深面變成球面, 和場曲球面吻合。下圖的Δglass說明了中心和角區玻璃的厚度差異要多少。

還有另一個在設計上要消除的問題是色差, 星光不是單色的, 不同光波的折射率不同, 因此經過玻璃, 不同色的光的視深(apparent depth), 這個引來的色差問題, 也要用不用的玻璃去調配解決。

最直接的計計, 這片玻璃會是片凹透镜(concave lens), 那是會有增焦作用的。但要調回色差問題, 通常會加凸鏡, 結果整體效果是減焦。 這說明了為何減焦平場鏡多, 不減焦的平場鏡少; 因不減焦就要配合其他鏡片, 保持光學距離, 但又將曲面的減焦功能消除。不過這個涉及較複雜的光學設計問題, 暫且不談。



反想談談另一問題, 潘少深空拍攝大師在http://www.hkastroforum.net/viewtopic.php?t=19249中提出要"dedicated flattener", 即要完全配合某支望遠鏡的平場鏡, 那是不是合理的呢? 小弟在下圖作了簡單計算, 我們己明白平場鏡是使角位的感光面的視深向前移, 以配合球面的焦面(focal plane), 而前移多少是取決於玻璃的多少, 那用了一個為不同焦距設計的平場鏡, 那就會使角位的焦點雖然比不用平場鏡接近了, 但仍不是在感光面上。這個差異暫且稱為tolerance 容許量, 下圖的Tor就是計算差100mm焦距的平場鏡這個容許量有多少, 第一個數字0.1485是代表350mm平場鏡用在450mm的望遠鏡上, 或350mm平場鏡用在450mm的望遠鏡上所引起的誤差(只是數值, 焦點是在前或在後的問題相若) 這個小誤差引起的問題是, 星光不再是聚焦成一點, 而是一個小圓盤, 這個小圓盤有多大, 是圖中Star所表達的。簡單的考慮, 如這個圓盤比相機的一個像素還小, 這點小誤差是不做成問題的(黃色), 但如果比一個像素大, 就會視作不完滿的平場了。

由下圖可見, 潘少師兄用SBIG 11K, 是全幅片的機, 在一般深空用攝星鏡的焦距範圍(400mm~800mm)內, 用一個為差100mm焦距的設計的平場鏡, 對高要求的人己是不可接受的了。對我這些低水平又只用APS-C的人來說, 當然差100mm焦距的設計, 是沒有問題的。

要配合這個角度, 才可以理解小弟為MPCC67做的測試(http://www.hkastroforum.net/viewtopic.php?p=213148), 不等同平價平場鏡可以和FSQ打個平手。

[Skyobs]

最直接的計計, 這片玻璃會是片凹透镜(concave lens), 那是會有減焦作用的。 這說明了為何減焦平場鏡多, 不減焦的平場鏡少; 因不減焦就要配合其他鏡片, 保持光學距離, 但又將曲面的減焦功能消除。

那是怎樣的凹透镜呢? 我手上的減焦镜是凸鏡,增焦镜才是凹鏡.

[鄧登凳]

最直接的計計, 這片玻璃會是片凹透镜(concave lens), 那是會有減焦作用的。 這說明了為何減焦平場鏡多, 不減焦的平場鏡少; 因不減焦就要配合其他鏡片, 保持光學距離, 但又將曲面的減焦功能消除。

那是怎樣的凹透镜呢? 我手上的減焦镜是凸鏡,增焦镜才是凹鏡.

謝謝指正, 己修改。

[鄧登凳]

補充一點參考的資料

1. 要看深入一點的探討, 請看大學的光學工程課程: http://imaging.creol.ucf.edu/OSE6265/Le ... ttener.pdf

2. 上文提及FSQ, 那是個改進了的Petzval design, 前後的兩套雙片是除去場曲及色差一併考慮的, 所以作為拍攝用是較好的做法。(獨立望遠鏡和平場鏡是各自處理色差的, 所以多了玻璃及容易引起像差), 可參考: http://rohr.aiax.de/Chapter%205.htm

[cometboy]

非常科學的解釋 (雖然我只看懂一半)。我也很滿意Maxvision的MPCC67的質素。但按你的分析，平場鏡似乎只跟焦距有關，但為何大部份產品都說它只配合一個 range的 F 值而不是一個 range的 focal length 呢？

[鄧登凳]

非常科學的解釋 (雖然我只看懂一半)。我也很滿意Maxvision的MPCC67的質素。但按你的分析，平場鏡似乎只跟焦距有關，但為何大部份產品都說它只配合一個 range的 F 值而不是一個 range的 focal length 呢？

好問題... 是我未解釋的清楚

上文的圖中右下有一句"assuming f/6", 那是計算星點變的圓盤有多大時, 一定要知鏡頭/望遠鏡的f-值。f-值決定了那個圓盤的大小, 上面的計算, Star其實就是Tor除以6。極端來說, 如果鏡頭或望遠鏡是針孔攝影機(或SCT+5X barrow的f/50), 那是不會有外圍星點變形的問題的。反過來說, 如果望遠鏡是f/3快鏡, 那Star的值就變成雙倍, 即用APS-C都不能接受設計焦距和實質焦距100mm的差異了。

其實用相機鏡頭攝星時, 收細光圈會減少外圍星點變形, 就是這個道理。

至於產品的資訊, 小弟的感覺是大部份都說是給同廠的那幾支望遠鏡用。

[anyone]

非常科學的解釋 (雖然我只看懂一半)。我也很滿意Maxvision的MPCC67的質素。但按你的分析，平場鏡似乎只跟焦距有關，但為何大部份產品都說它只配合一個 range的 F 值而不是一個 range的 focal length 呢？

你又好啦，可以看懂一半，小弟三成都冇！

[ALOHA]

What you wrote are quite incorrect. The curvature radius of the focal 'plane' is NOT the focal length, even if there is only one lens or mirror. The principle of field flattener is not what you said, either.

I strongly suggest you to read this book:
http://www.willbell.com/tm/tm6.htm
It is a easy reading.

[鄧登凳]

What you wrote are quite incorrect. The curvature radius of the focal 'plane' is NOT the focal length, even if there is only one lens or mirror. The principle of field flattener is not what you said, either.

I strongly suggest you to read this book:
http://www.willbell.com/tm/tm6.htm
It is a easy reading.

Thanks for your comments.

I agree that I have oversimplified the discussion, probably to the extent that it is wrong. I am aware of that the radius of curvature should be the Petzal radius of curvature where R(Petzal) = nR(lens curvature)/n-n'. [n & n' = the indici of incidence and reflection/refraction, respectively]. However, it is more easy to follow by using geometrical focal radius without invoking any wave optics and lens curvature considerations.

As for the principle of field flattener, it depends on the level of simplification... Anyway, the course (link provided above) from the U of Central Florida on Optical System Engineering includes this :

... This provides a variation of glass thickness as a function of paraxial image height. The idea is to introduce enough glass thickness to shift the local field focus back into the paraxial plane.....

Of course, in acutal design of real field flattener, it is not as simple as that.

[Nosneb]

好文章! 連王博士都被引出來了!

[PTS]

What you wrote are quite incorrect. The curvature radius of the focal 'plane' is NOT the focal length, even if there is only one lens or mirror. The principle of field flattener is not what you said, either.

I strongly suggest you to read this book:
http://www.willbell.com/tm/tm6.htm
It is a easy reading.

There is another reference (free of charge):

http://www.telescope-optics.net/

PTS

[MANDII]

邓博士的分析够有主见 ！ 够独特！
今次好似看得几明，不过都5系好明。
哈哈！