天體力學第10課星曆表1問題5:克普勒方程

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pang
星際雲
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天體力學第10課星曆表1問題5:克普勒方程

文章 pang » 週日 22 11月, 2009 23:48

天體力學第10課星曆表1問題5:克普勒方程

這問題分為兩部份,(1)克普勒方程的推導 及 (2)克普勒方程的解法。

克普勒方程的推導在「牧夫論壇」曾討論過,他們提出兩方法,方法一由wenlianyi君提出,較為複雜,整理後我再介紹給同好;方法二由zhjj 君提出,和我在下列附件中提出的方法相同。

克普勒方程的解法在「牧夫論壇」提及的課本「天文算法」中有詳細討論,此書有英文本,亦有中文翻譯本,由许剑伟译著,同好可在網站 http://www.uushare.com/user/mglychd/files/1191390下載

若同好發現克普勒方程有其他推導或解法,請與我們分享。
謝謝!
彭祿勝 謹啟 2009-11-22
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附件:克普勒方程(Kepler equation) M=E-e˙sinE 的推導

附圖中,設
E:偏近點角∠QOW (Eccentric anomaly)
M:平近點角(Mean anomaly)
M0:曆元平近點角(Mean anomaly of the epoch)
t:時間
τ:過近日點時間或曆元(Epoch)
T:週期(Period)
n:平均角速度(Mean angular velocity)
又 M = M0+nt = n(t-τ) = 2π(t-τ)/T ; n=2π/T

由幾何特性得:
SWP面積
= (b/a)˙SWQ
= (b/a)˙(扇形OWQ-ΔOSQ)
= (b/a)˙(0.5˙a^2˙E - 0.5˙a^2˙e˙sinE)
= 0.5ab˙(E-e˙sinE)

由克普勒第二定律: SWP面積/(πab) = (t-τ)/T
代入得: 0.5ab˙(E-e˙sinE) /(πab) = (t-τ)/T
即 E-e˙sinE = M
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附加檔案
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MANDII
夸克星
文章: 2951
註冊時間: 週二 28 7月, 2009 15:13
來自: HK

文章 MANDII » 週一 23 11月, 2009 11:38

看了一下给个评语,可以不理。
就是说,用几何的面积等同的特性把2公式结合后再换另一种表达方式是吧。
一公式包含行星时间和速度上的信息,另一公式是另一个定律计算的面积。
但问题是几何面积等同便能等同以上2个公式/物理 ?
Base on what thing we can say that ?

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sptfung
主序星
文章: 175
註冊時間: 週三 09 7月, 2008 01:18
來自: 星匯點Starrix/HKU Physics Astrophysics Group

文章 sptfung » 週一 23 11月, 2009 21:23

Actually to prove Kepler's Laws is not a easy job.
I suggest layman to read Feynman's proof.
It is contained in "Feynman's Lost Lecture: The Motion of The Planets Around The Sun" by David Goodstein and Judith Goodstein.
You can find it in PageOne.
PageOne in TimeSquare still has copies.

bamboo
主序星
文章: 179
註冊時間: 週三 16 6月, 2004 10:45
來自: 香港

文章 bamboo » 週二 24 11月, 2009 16:56

MANDII 寫:...
但问题是几何面积等同便能等同以上2个公式/物理 ?
Base on what thing we can say that ?
看來MANDII誤會了樓主問題的重點。樓主不是要從物理基本原理出發推導開普勒行星運動定律,而是由開普勒行星運動定律出發推導一條可供計算行星位置的數學方程。

pang
星際雲
文章: 29
註冊時間: 週二 18 4月, 2006 00:32

文章 pang » 週日 29 11月, 2009 15:39

克普勒方程的解法: E = M + e*sin(E)

展開法:(参見「天体力学引论」第84頁,易照华著,科学出版社,1978年第1版)。
E = M + e*sin(M) + 0.5*e^2*sin(2M) + ...

「天文算法」(Astronomical Algorithms, Meeus)中譯本第29章提出4種方法,(1)迭代法、(2)牛頓公式法、(3)二分法和 (4)近似法。

(1) 迭代法:公式如下
E0 = M
E1 = M + e*sin(E0)
E2 = M + e*sin(E1)
. . . . . . . . . .

(2) 牛頓公式法:公式如下
E0 = M
E1 = E0 - (E0-M-e*sin(E0))/(1-e*cos(E0))
E2 = E1 - (E1-M-e*sin(E1))/(1-e*cos(E1))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

迭代法收斂慢,牛頓公式法收斂快;當e接近1時,迭代法收斂極慢,牛頓公式法亦有些因難。

本人有這樣意見,太陽系天體的橢圓軌道偏心率e值極少接近1 (e值極接近1時已被算為拋物線軌道),可一律用牛頓公式解克普勒方程,但在每一循環中加入以下課語句,令E值在0至2*PI之間(PI為圓周率) 。
E = MOD(E,2*PI)
IF (E<0) E = E + 2*PI
MOD為餘數函數,例 MOD(7,3)=1,即7除以3餘數為1。

參照「天文算法」第164-165頁中,若e=0.999,M=7˚度,牛頓法不調整下需47步才得E=52.2702615˚,我利用牛頓法餘數調整後袛需7步亦得相同結果;若e=0.99999,M=7˚,調整後牛頓法亦是用了7步得 E=52.385629080494

彭祿勝 謹啟 2009-11-29

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