天體力學第10課星曆表1問題1:克普勒第三定律

pang
星際雲
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天體力學第10課星曆表1問題1:克普勒第三定律

文章 pang » 週日 25 10月, 2009 13:16

各位天文同好:
本人在香港天文學會理論天文組(簡稱TAG)的研習班「天體力學」(参考課本為Celestial Mechanics by Dr. J. B. Tatum jtatum@uvic.ca)中負責某幾課題,本人綜合了課本編寫了一些筆記給組員,現附上其中一課「星曆表」的部份筆記。現提出一些問題供各同好討論,希望同好們熱切地提供意見。謝謝!
彭祿勝 謹啟 2009-10-25

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天體力學第10課星曆表1問題1:克普勒第三定律

行星軌道半長軸a的三次方與週期T的二次方成正比 或
行星軌道半長軸a的三次方與平均角速度n的二次方成反比

即公式: a^3/T^2 = 常數 或 a^3․n^2 = 常數μ = k^2
(其中k=0.01720209895,高斯引力常數 ; n=2π/T)

嚴格地說 : a^3/T^2 = 常數嗎? a^3․n^2 = 常數嗎?

以下摘錄自1988年中國天文年曆-行星軌道根數(曆元1988年2月9日0時)
行星 半長軸a 平均角速度n(度)
木星 5.2030052 0.08308639
土星 9.5281363 0.03351616
天王星 19.1829259 0.01173117
海王星 30.0796115 0.00597457

以木星為例: n = 0.08308639度 = 0.0014501311rad
a^3․n^2 = 5.20300523․0.00145013112 = 0.00029619472
但 k^2 = 0.017202098952 = 0.0002959122083 , 上下兩者為何不相等?

其他行星的 a^3․n^2 = 常數嗎?
附加檔案
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天體力學第10課星曆表1的筆記
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梅西爾
夸克星
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文章 梅西爾 » 週日 25 10月, 2009 16:19

Dele

quantumkit
紅巨星
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文章 quantumkit » 週日 25 10月, 2009 18:40

I guess the values are close enough if you round them up to 3 significant digits, that is k^2 = 0.000296

that error is only < 0.05%, which is very good already.

after all, Kepler's 3rd Law applies to two body problem but our system has so many planets that will affect each others

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sptfung
主序星
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文章 sptfung » 週日 25 10月, 2009 19:39

這就是當年發現天王星海王星的原因。

pang
星際雲
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文章 pang » 週日 01 11月, 2009 15:53

多謝quantumkit兄及sptfung兄的意見,quantumkit兄說得對,太陽系是多體問題,雖然太陽佔了大部份質量,但是其他大行星的質量也不可忽畧。
另外,小弟每星期提出的問題,都會放在香港天文論壇(http://www.hkastroforum.net/index.php)及 ... 的mca君回覆得很好,他還把公式給與我們作参考。
再者,同好們可参加以下的有獎問答遊戲(獎品是無論有沒有回答,均可参加另一週我提出的問題)。

行星 半長軸a 角速度n(rad) a^3*n^2 a^3*n^2/k^2 , k=0.01720209895
木星 5.2030052 0.0014501311 0.0002961947 1.000955
土星 9.5281363 0.0005849673 0.0002959969 1.000286
天王星 19.1829259 0.0002047475 0.0002959252 1.000044
海王星 30.0796115 0.0001042759 0.0002959271 1.000050

請問表列內的數值 .000955 , .000286 , .000044 , .000050 分別代表什麼?

彭祿勝 謹啟 2009-11-01

pang
星際雲
文章: 29
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文章 pang » 週日 01 11月, 2009 16:05

多謝quantumkit兄及sptfung兄的意見,quantumkit兄說得對,太陽系是多體問題,雖然太陽佔了大部份質量,但是其他大行星的質量也不可忽畧。

另外,小弟每星期提出的問題,都會放在香港天文論壇(http://www.hkastroforum.net/index.php)及 ... 的mca君回覆得很好,他還把公式給與我們作参考。

再者,同好們可参加以下的有獎問答遊戲(獎品是無論有沒有回答,均可参加另一週我提出的問題)。

行星 , 半長軸a ,,角速度n(rad) , a^3*n^2 , ,, a^3*n^2/k^2 , k=0.01720209895
木星 , 5.2030052 , 0.0014501311 , 0.0002961947 , 1.000955
土星 , 9.5281363 , 0.0005849673 , 0.0002959969 , 1.000286
天王星 , 19.1829259 , 0.0002047475 , 0.0002959252 , 1.000044
海王星 , 30.0796115 , 0.0001042759 , 0.0002959271 , 1.000050

請問表列內的數值 .000955 , .000286 , .000044 , .000050 分別代表什麼?

彭祿勝 謹啟 2009-11-01

pang
星際雲
文章: 29
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文章 pang » 週三 18 11月, 2009 16:03

引用HKASF的mca君的回應(發表於 2009-10-29, 19:58)
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我不是天體力學的 fans,但讀天文系時知道 克普勒第三定律 的正式公式是
a^3‧n^2 = G (M + m)
其中 n = 2 pi / T, G = 萬有引力常數 , M = 太陽質量, m = 行星質量。

因為每顆行星的質量都不同 (即是說 m 是一個可變數),故此嚴格地說 a^3‧n^2 不是一個常數。若要精確計算每顆行星的 T (軌道周期) 或 n 值 (平均角速度) ,該行星的質量 m 必須要包括在算式內,平常用的 a^3‧n^2 = 常數 只是簡化公式,準確度只得 3 significant digits 左右。
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結論1 : a^3‧n^2 = G M (≡k^2) (常數) ... 是近似公式
結論1 : a^3‧n^2 = μ = G (M + m) ≠ k^2 (不是常數,與行星質量有關) ... 是正確公式
(a=半長軸,n=平均角速度) (M=太陽質量=1,m=行星質量) (G=萬有引力常數,k=高斯引力常數)

∴ 數值 .000955 和 .000286分別代表木星和土星的質量。

本人發現文獻描述克普勒第三定律時,一般物理書用近似公式,天體力學書及中國大百科全書用正確公式。請同好們查證其他文獻用什麼公式去描述此定律?

又引用「牧夫」的浪淘沙君的回應(时间: 2009-11-12, 15:01)
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a(1000km) T(天) a^3 / T^2
木卫三 1070.0428, 7.154553, 23935275.84
木卫四 1883, 16.689018, 23971178.94
木卫一 421.769, 1.769138, 23971794.49
木卫二 671.079, 3.55181, 23956396.63
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請同好們計算木衛的質量。(1AU=149597870km, k=0.01720209895, 摘自1988年中國天文年曆)
(木星質量=0.00095467M, M=太陽質量)

謝謝!

彭祿勝 謹啟 2009-11-18

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Wah!!
夸克星
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文章 Wah!! » 週三 18 11月, 2009 16:12

我想問, pang 是想透過這些數字, 去證明還是否定一些什么定律呢?

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MANDII
夸克星
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文章 MANDII » 週三 18 11月, 2009 16:24

5好意思,刚刚无聊路过又引不住问问。

“ 同好們可参加以下的有獎問答遊戲(獎品是無論有沒有回答,均可参加另一週我提出的問題) ”

what is it ?
Could you explain more about it ?

quantumkit
紅巨星
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文章 quantumkit » 週三 18 11月, 2009 17:04

there is no physical prize. For those who have ever thought about the problem, they would learn something...that's the prize

I think that's what he meant.

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MANDII
夸克星
文章: 2951
註冊時間: 週二 28 7月, 2009 15:13
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文章 MANDII » 週三 18 11月, 2009 17:44

I mean the question .
will he ask the question every week ?
哈哈哈

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sptfung
主序星
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文章 sptfung » 週四 19 11月, 2009 00:27

其實kepler's law係general relativity既approximation, under schwarzchild metirc... 所以不能對上述數字太認真...
最後由 sptfung 於 週四 19 11月, 2009 23:07 編輯,總共編輯了 1 次。

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鄧登凳
夸克星
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文章 鄧登凳 » 週四 19 11月, 2009 01:12

sptfung 寫:其實kepler's law係general relativity既approximation, under swarzchild metirc... 所以不能對上述數字太認真...
咁神奇 :o :o :o

Kelper 一個17世紀的人, 居然可以為數百年後的廣義相對論做個約略計算....

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sptfung
主序星
文章: 175
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文章 sptfung » 週四 19 11月, 2009 01:20

就好似newtonian mechanics都係relativtistic mechanics既approximation咁罷了...

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MANDII
夸克星
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文章 MANDII » 週四 19 11月, 2009 12:11

中国古人几千年前也有个叫相对论的,是不是也差不多的 ?哈哈

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